Según dijiste tenías problema de arranque en frio en el primer arranque de la mañana y que cuando hacia buena temperatura no lo tenías.
O eso entendi yo.
Si es así no entiendo que tiene que ver esto con el cauda o con el sensor map.
Creo que deberias orientarle más en el tema de la inyección para dar con tu problema pero es solo mi opinión y lo que yo haria desde mi humilde opinión.
Suerte con tu averia y a ver si das con ello.