Esa especie de plástico/tela (que se a cual te refieres) es normal que se desprenda al paso de los años, y más aún en un coche del año 2.000 (16 años) el sol y demás acaba devorando todo, y en especial esa parte. Puedes probar a quitar entero esa especie de plástico/tela, y tapizar de nuevo junto con el resto del panel, y lo mismo en la otra puerta(s) pero lo mejor es comprar paneles nuevos. Al menos esto haría yo.
Quitarte ese marrón, puesto que ese plástico no sale nada bien. Tienes que desmontar todo lo que hay en el panel, tirar de ese plástico (que no sale nada bien) poner el nuevo, ajustar perfecto, estirar, pegar (etc..) y no va a quedar igual que de fabrica, aparte es mucho trabajo. En los desguaces hay paneles y muchos están bien, y en Internet se venden no muy caros. Yo los cambiaba, pero si eres manitas, puedes intentarlo, quitarse, se quita. Salu2
P.D: En mi casa tengo 2 paneles de puerta (de Golf IV) con el tapizado nuevo, para cuando me suceda lo que a ti, o se me rompa uno. Los vi en un desguace y no lo pensé. Por eso te digo, que yo los cambiaba si fuese tú.